1复杂形状刀具主要是指具有形状较复杂的功能表面(如螺旋形前刀面等)的刀具。为了清晰、直观地表达复杂形状刀具的功能表面，需要构建三维可视化的设计环境。采用数控工具磨床对复杂形状刀具进行数控磨削加工时，首先必须建立复杂形状刀具的数学模型及实现刀具设计的三维可视化。
2 复杂形状刀具的数学模型
复杂形状刀具几何模型
刀体的数学模型
为实现对复杂形状刀具的数学描述，必须建立复杂形状刀具刃线及各特征表面的数学模型。复杂形状刀具的特征表面主要包括刀具外形表面(即刀体)、刀具前刀面、后刀面及沟槽等。复杂形状刀具的几何模型如图1所示。
常用的复杂形状刀具(如圆柱球头刀具、圆锥球头刀具、阶梯形刀具等)的刀体一般采用回转曲面(如圆柱面、圆锥面、球面等)。回转曲面是由一条平面曲线绕该平面上一固定直线旋转所产生的由面、该平面曲线即为回转曲面的母曲线，该固定直线则为回转曲面的轴线。
(1)母曲线L绕X轴旋转一周所生成的曲面即回转曲面S的方程为
(2)刃线的数学模型
(3) 复杂形状刀具的刀刃通常采用螺旋形刃线，这是因为螺旋形刀刃在切削过程中可改变切屑流向，使切屑沿螺旋槽流出，起到散热、减小切削阻力、防止切屑划伤已加工表面等作用。同时，螺旋角可增大刀具的实际切削前角，提高切削刃的锋利程度。
复杂形状刀具的刃线主要有等螺旋角螺旋线、等导程螺旋线等。这些刀刃曲线均为普通螺旋线(即变导程、变螺旋角螺旋线)的形式之一，只是确定螺旋线的参数不同。因此，螺旋形刀刃曲线可用通用模型统一表示。
刀具的功能表面包括刀具的前刀面、后刀面、刀槽等，设计刀具时，功能表面的表达与其几何参数的定义是紧密相关的。复杂形状刀具的前角定义为法前角，即前角在刀具的法剖面内测量。因此，与刀具前角相关的功能表面的几何结构(如前刀面、刀槽等)及参数均应在法剖面(即测量平面)内描述。复杂形状刀具的后角在端截面内测量，因此，与刀具后角相关的功能表面几何结构(及参数均应在端剖面(即测量平面)内描述。
